高斯曲率的故事和定义

古典的几何学者在讨论三维空间中的曲面时,他们留意到曲面上每一点的曲率,都有两个不同的选择。比如在一个圆柱面上,一个方向是沿其横切的圆,另一个则是沿垂直线。

高斯在1827年发现这两个曲率的乘积具有惊人的属性。当我们令曲面在空间变型,只要它没有拉长缩短,这个积是不变的!后世称这个积为高斯曲率。


内蕴几何


高斯把这条定理写入《曲面通论》一书中。他指出必须把曲面的内在性质,即身处曲面内扁小甲虫所经验的属性,与其外在的,即依赖于曲面如何置于空间的性质区分开来,而只有内在性质,才值得几何学家焚膏继晷,兀兀穷年地上下求索。后世称研究这些性质的学问为内蕴几何。


高斯曲率决定曲面的内蕴几何


从球面剪取一片曲面,其高斯曲率为正常数。反过来说,局部而言,任何具正常曲率的曲面都可以等距地映射成球面的一部分。


类似地,从双曲曲面剪取的一片,其高斯曲率恒等于―1,而反过来说曲率等于―1的曲面与双面曲面局部相等。双曲曲面曾在讨论欧氏第五公理时论及。


高斯对几何的深思


高斯显然因他的定理兴奋不已。但他并没有认为人们对空间已认识透彻。


高斯:我愈来愈相信,人类的理性并不能证明或理解几何的必要性。也许后世能对空间的本质有新的洞见,但目前这却是不可能的事。
发表于: 2009-12-02 18:48 黄新华 阅读(3647) 评论(0) 收藏 好文推荐

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鼠标做的很细致呢,真逼真呢,渲染图的视角构图都不错--flyss206
这个三菱的车子做的错,不过有些厚实,更像商务车和家用车.不太适合F1.--xiong-jason
好东西,赞一个--只爱纯净水
现阶段真没办法,
人工智能还真没发展起来
举个简单的例子
用逆向工程软件扫描车身,得到密密麻麻的点云
然后得由人来定义曲线,然后一块一块面的拼,最后才组成个车
很繁琐的过程~
做多了就是体力活
将来技术发达了也许一扫描,面就出来了
可现在只能人来做,
稍微复杂的面电脑就出错了
很同意倒数第二段话的观点
设计就是设计
这些界面操作什么的很麻烦~--mamao
这图做的不错。--Arthas

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