数学化归思想举例-之二
程晓华
2020-10-31
2.
用已知的正方形面积求法逐步求解复杂图形的面积。
我们已经知道边长为a的正方形的面积为a2，如下图1所示：
图1 正方形的面积
利用这个正方形面积的知识我们就可以求出稍微复杂点的长方形的面积，其长L=3a，宽 B= 2a，如下图2所示：
图2 长方形的面积
从图**们很容易知道，这个长方形的面积为6a2，正好等于L×B，即长方形的面积=长×宽。
在这个长方形的基础上，我们从对角线上切上一刀，长方形变成两个三角形，如下图3所示，那么，每个三角形的面积就等于长方形面积的一半，即三角形的面积公式为：1/2×L×B=1/2 底×高。
图3 三角形的面积公式
现在，我们利用上面得到的知识来求一个梯形的面积，如下图4所示，这个梯形的下底长度 = 3a，高=2a，上底长度 = b ：
图4 梯形
我们应该怎么办呢？
似乎是无法下手？
运用前面我们所学的知识，我们可以轻松地搞定这个问题，而且至少有两种方法，一种是内切法，如下图5所示：
图5 内切法求梯形面积
我们把梯形切成一个四边形+两个三角形，这样，求梯形的面积问题就变成了求四边形及三角形面积的问题，而这方面的知识我们在前面刚刚学过：
四边形的面积=长×宽 = 上底长度×高 = b×2a=2ab
三角形的面积= 1/2 底×高=1/2 x×2a=ax，这里x为未知数
而根据上图，该梯形的下底长度=上底长度+2x，即：
3a = b + 2x，所以，x = 1/2（3a-b）
这样，一个三角形的面积= 1/2 x×2a=ax = a×1/2（3a-b），两个三角形的面积
= 2a×1/2（3a-b）=a（3a-b）
于是我们就可以求得梯形的面积=2ab +
a（3a-b）=3a2+ab=（3a+b）a=（3a+b）2a/2 = （上底+下底）×高÷2。
外补法如下图6所示，我们可以得到同样的公式，感兴趣的读者可以自己试一下，这里就不再展开计算过程了。
图6 外补法求梯形面积
通过以上过程，大家不难看出，我们通过掌握了正方形的面积很容易地就学会了长方形的面积公式，接着就解决了三角形的面积问题，最后，运用上述知识求得了梯形的面积公式，我们的知识越来越丰富，我们解决的问题越来越复杂，我们解决问题的能力也是越来越强大，而这一切，都要归功于数学的化归思想，这个过程如下图7所示：
图7 数学化归思想过程
这个过程进一步告诉我们，掌握基本知识是多么的重要
– 基本定义、基本公式、基本逻辑、基本方法，然后不断地积极实践、不断总结、不断提升 …….
当然利用上述知识，我们还可以进一步解决更复杂的问题，譬如说圆的面积问题，详细讨论请大家参考我另外一篇的文章，《没有规矩不成方圆》-TIM咨询公众号。
未完待续
作者程晓华（John
Cheng），全面库存管理（TIM）咨询独立顾问，《制造业库存控制技术与策略》课程创始人、讲师，《制造业库存控制技巧》、《首席物料官》、《决战库存》、《制造业全面库存管理》著作者，邮箱：johnchengbj@126.com TIM订阅号：ITOOTD
发表于：
2020-11-02 14:44 阅读(57)
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